Définition
Définition de la compatibilité entre une loi et une relation d'équivalence + de la loi quotient :
- soit \(E\) un ensemble et \(*\) une loi sur \(E\)
- soit \(\mathcal R\) une relation d'équivalence
- \(\forall x,x^\prime,y,y^\prime\in E,\qquad x\mathcal Rx^\prime\text{ et }y\mathcal R y^\prime\implies (x*x^\prime)\mathcal R (y*y^\prime)\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(*\) est compatible avec \(\mathcal R\)
- on peut alors définir la loi quotient sur \(E/\mathcal R\) : $$\bar x*\bar y=\overline{x*y}$$
Propriétés
Elément neutre
Élément neutre de la loi quotient :
- soit \(*\) compatible avec \(\mathcal R\)
- \(*\) possède un neutre \(e\)
$$\Huge\iff$$
- la loi quotient a pour neutre \(\bar e\)
Associativité
Associativité de la loi quotient :
- soit \(*\) compatible avec \(\mathcal R\)
- \(*\) est associative
$$\Huge\iff$$
- la loi quotient est associative
(
Associativité)
Commutativité
Commutativité de la loi quotient :
- soit \(*\) compatible avec \(\mathcal R\)
- \(*\) est commutative
$$\Huge\iff$$
- la loi quotient est commutative
(
Associativité)
Elément inverse
Élément inverse pour la loi quotient :
- soit \(*\) compatible avec \(\mathcal R\)
- \(x\) est inversible pour \(*\)
$$\Huge\iff$$
- \(\overline{x^{-1}}=\bar x^{-1}\)
Structure de groupe
Structure de groupe de la loi quotient :
- soit \(*\) compatible avec \(\mathcal R\)
- \((E,*)\) est un groupe
$$\Huge\iff$$
- \((E/\mathcal R,*)\) est un groupe
Exemple
On peut munir \({\Bbb Z}/n{\Bbb Z}\) de la loi de groupe notée \(+\)
